指对放缩

1. 指对切线放缩

主要放缩形式有四种：

(e^x \geq x+1)
(e^x \geq ex)
(\ln x\leq x-1)
(\ln x\leq \dfrac{x}{e})
一，二用于往小缩，三，四用于往大放。

对以上放缩进行证明：

(e^x \geq x+1).
构造 (f (x)=e^x-x-1)，对函数求导得到 (f'(x)=e^x-1).
容易发现 (f'(x)) 单调递增，当 (x>0) 时，(f'(x)>0)；当 (x<0) 时，(f'(x)<0).
所以 (x=0) 时，(f (x)_{min}=0).
故 (f (x)=e^x-x-1\geq0)，得 (e^x \geq x+1).
证毕.

(e^x \geq ex).
构造 (f (x)=e^x-ex)，对函数求导得到 (f'(x)=e^x-e).
容易发现 (f'(x)) 单调递增，当 (x>1) 时，(f'(x)>0)；当 (x<1) 时，(f'(x)<0).
所以 (x=1) 时，(f (x)_{min}=0).
故 (f (x)=e^x-ex\geq0)，得 (e^x \geq ex).
证毕.

(\ln x\leq x-1).
构造 (f (x)=\ln x-x+1)，对函数求导得到 (f'(x)=\dfrac {1}{x}-1).
容易发现 (f'(x)) 单调递增，当 (x>1) 时，(f'(x)<0)；当 (x<1) 时，(f'(x)>0).
所以 (x=1) 时，(f (x)_{max}=0).
故 (f (x)=\ln x-x+1\leq0)，得 (\ln x\leq x-1).
证毕.

(\ln x\leq \dfrac{x}{e}).
构造 (f (x)=\ln x-\dfrac {x}{e})，对函数求导得到 (f'(x)=\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{e}).
容易发现 (f'(x)) 单调递增，当 (x>e) 时，(f'(x)<0)；当 (x<e) 时，(f'(x)>0).
所以 (x=e) 时，(f (x)_{max}=0).
故 (f (x)=\ln x-\dfrac {x}{e})，得 (\ln x\leq \dfrac {x}{e}).
证毕.

1.1 例题 1#
证 (e^x-\ln (x+2)>0) 恒成立。

证明：原不等式等价于 (e^x>\ln (x+2)).
由 (e^x\geq x+1)，(\ln x\leq x-1) 可知，(e^x\geq x+1 \geq \ln (x+2)).
两不等式取等条件不同，故 (e^x>\ln (x+2))，即 (e^x-\ln (x+2)>0).

1.2 例题 2#
当 (x>0) 时，证 (ex^2-x\ln x<xe^x+\dfrac {1}{e}).

证明：原不等式等价于 (ex-\ln x<e^x+\dfrac1}{ex}\). 因为 \(e(x\geq ex\)，即证明 \(-\ln x<\dfrac {1)ex}\). 由(2-x\ln) \(-\ln x=\ln \dfrac{1}{x}\) 可知(x<)，要证明(xe^) \(\ln \dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{ex}\). 因为(x\d) \(\ln \dfrac{1}{x}\leq\dfrac{1}{ex}\)，所以(fr) \(\ln \dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{ex}\) 成立(ac)。 得证({1)：\(ex).

1.3 例题 3#
当 (x>0) 时，证 (e^x+x2-(e+1)x+\dfrac{e}{x}>2).

证明：由 (e^x\geq ex) 可知，放缩后原不等式为 (x^2-x+\dfrace}{x}>2\). 配方可得(2-2x1\dfrac{e) \(xx}>2-x+1\) 推得(2\dfrac{e) \((x-1)x}+x>3\). 由基本不等式可知(xx^2-(e1)) \(x+\dfrac{e}{x}\geq2\sqrt e\)，易得原不等式成立(x\dfrac{)。 故(e) \(e>2).

2. 指对放缩 plus#
   (e^x\geq x+1\to e^x\geq \dfracx(2)2}+x+1\).\((x\geq0)\) \(e(x\geq ex\to e^x\geq ex+\dfrac{e)2}(x-1)(2 \geq ex+(x-1)^2\).\((x\geq0)\) \(\ln x\leq x-1\to \ln x \geq 1-\dfrac{1)).
   上式相较于普通版本精度更高。

对以上放缩进行推导：

(e^x\geq \dfracx(2)2}+x+1\).\((x\geq0)\). 构造函数(x-\dfrac{x^2) \(f(x)=e2}-x-1\)，对函数求导 \(f'(x)=e(x-x-1\). 容易发现 \(f'(x)\) 单调递增，当 \(x>0\) 时，\(f'(x)>0\)；当 \(x<0\) 时，\(f'(x)<0\). 所以 \(x=0\) 时，\(f (x)_{min)=0).
故 (f (x)=e^x-\dfracx(2)2}-x-1\geq 0\)，得 \(e(x\geq \dfrac{x^2)+x+1).((x\geq0)).
证毕。

(e^x\geq ex+\dfrace}{2}(x-1)(2\). 将 \(e^{x-1)) 用 (e^x\geq \dfracx(2)2}+x+1\) 放缩可得({x-1) \(e\geq \dfrac{x-1}(2)2}+x\) 所以 \(e(x\geq ex+\dfrac{e)(x-1)^2).
证毕。

(e^x \geq ex+(x-1)^2).
由 (2) 显然。

(\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}).
由 (\ln \dfrac {1}{x} \leq \dfrac {1}{x}-1) 可知 (-\ln \dfrac {1}{x} \geq 1-\dfrac {1}{x}).
由 (-\ln x=\ln \dfrac {1}{x}) 可知，(\ln x \geq 1-\dfrac {1}{x}).
证毕。

2.1 例题 1#
证 (e^x+\dfrac {1}{x}\geq 2-\ln x+x^2+(e-2) x).

证明：由 (e^x \geq ex+(x-1)^2)，(\ln x\leq x-1)，当 (x=1) 时同时取等可知，(ex+(x-1)^2+\dfrac1}{x}\geq 2-x+1+x(2+(e-2) x\). 所以 \(\dfrac {1)x}\geq-x+2\)，化简得 \((x-1)(2\geq0\). 故 \(e^x+\dfrac {1)\geq 2-\ln x+x^2+(e-2) x) 成立.

3. 飘带放缩#
   (\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}).((x\in (0,1])).
   (\dfrac{2(x-1)}{x+1} \leq \ln x \leq \dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x})).((x\in (1,+\infty])).
   对以上放缩进行证明：

(\dfrac1}{2} (x-\dfrac {1}{x}) \leq \ln x\).\((x\in (0,1])\). 构造函数 \(f (x)=\dfrac {x}{2}-\dfrac {1}{2x}-\ln x\)，对函数求导 \(f'(x)=\dfrac {1}{2x(2)-\dfrac1}{x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{(x-1)(2)2x(2)\geq 0).
所以 (f (x)) 单调递增，当 (x=1) 时，(f (x)=0).
因为 (x\leq1)，所以 (f (x)\leq 0)。故 (\dfrac {1}{2} (x-\dfrac {1}{x}) \leq \ln x).((x\in (0,1])).

(\ln x \leq \dfrac2 (x-1)}{x+1}\).\((x\in (0,1])\). 构造函数 \(f (x)=\ln x-\dfrac {2 (x-1)}{x+1}\)，对函数求导 \(f'(x)=-4 (x+1)({-2)+x^-1}=\dfrac{(x-1)(2)x(x+1)(2)\geq 0).
所以 (f (x)) 单调递增，当 (x=1) 时，(f (x)=0).
因为 (x\leq1)，所以 (f (x)\leq 0)。故 (\ln x \leq \dfrac {2 (x-1)}{x+1}).((x\in (0,1])).

所以 (\dfrac {1}{2} (x-\dfrac {1}{x}) \leq \ln x \leq \dfrac {2 (x-1)}{x+1}).((x\in (0,1])).
(\dfrac {2 (x-1)}{x+1} \leq \ln x \leq \dfrac {1}{2} (x-\dfrac {1}{x})).((x\in (1,+\infty])). 同理可得。