指对放缩

1. 指对切线放缩

主要放缩形式有四种：

• $e^x \geq x+1$
• $e^x \geq ex$
• $\ln x\leq x-1$
• \ln x\leq \dfrac{x}

一，二用于往小缩，三，四用于往大放。

对以上放缩进行证明：

$e^x \geq x+1$.

构造 $f(x)=e^x-x-1$，对函数求导得到 $f'(x)=e^x-1$.

容易发现 $f'(x)$ 单调递增，当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$；当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$.

所以 $x=0$ 时，$f(x)_{min}=0$.

故 $f(x)=e^x-x-1\geq0$，得 $e^x \geq x+1$.

证毕.

$e^x \geq ex$.

构造 $f(x)=e^x-ex$，对函数求导得到 $f'(x)=e^x-e$.

容易发现 $f'(x)$ 单调递增，当 $x>1$ 时，$f'(x)>0$；当 $x<1$ 时，$f'(x)<0$.

所以 $x=1$ 时，$f(x)_{min}=0$.

故 $f(x)=e^x-ex\geq0$，得 $e^x \geq ex$.

证毕.

$\ln x\leq x-1$.

构造 $f(x)=\ln x-x+1$，对函数求导得到 $f'(x)=\dfrac{1}{x}-1$.

容易发现 $f'(x)$ 单调递增，当 $x>1$ 时，$f'(x)<0$；当 $x<1$ 时，$f'(x)>0$.

所以 $x=1$ 时，$f(x)_{max}=0$.

故 $f(x)=\ln x-x+1\leq0$，得 $\ln x\leq x-1$.

证毕.

$\ln x\leq \dfrac{x}{e}$. 构造 $f(x)=\ln x-\dfrac{x}{e}$，对函数求导得到 $f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e}$. 容易发现 $f'(x)$ 单调递增，当 $x>e$ 时，$f'(x)<0$；当 $x<e$ 时，$f'(x)>0$. 所以 $x=e$ 时，$f(x)_{max}=0$. 故 $f(x)=\ln x-\dfrac{x}{e}$，得 $\ln x\leq \dfrac{x}{e}$. 证毕.

1.1 例题1# 证 $e^x-\ln (x+2)>0$ 恒成立。

证明：原不等式等价于 $e^x>\ln (x+2)$. 由 $e^x\geq x+1$，$\ln x\leq x-1$ 可知，$e^x\geq x+1 \geq \ln(x+2)$. 两不等式取等条件不同，故 $e^x>\ln (x+2)$，即 $e^x-\ln (x+2)>0$.

1.2 例题2# 当 $x>0$ 时，证 $ex^2-x\ln x<xe^x+\dfrac{1}{e}$.

证明：原不等式等价于 $ex-\ln x<e^x+\dfrac{1}{ex}$. 因为 $e^x\geq ex$，即证明 $-\ln x<\dfrac{1}{ex}$. 由 $-\ln x=\ln \dfrac{1}{x}$ 可知，要证明 $\ln \dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{ex}$. 因为 $\ln \dfrac{1}{x}\leq\dfrac{1}{ex}$，所以 $\ln \dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{ex}$ 成立。 得证：$ex^2-x\ln x<xe^x+\dfrac{1}{e}$.

1.3 例题3# 当 $x>0$ 时，证 $e^x+x^2-(e+1)x+\dfrac{e}{x}>2$.

证明：由 $e^x\geq ex$ 可知，放缩后原不等式为 $x^2-x+\dfrac{e}{x}>2$. 配方可得 $x^2-2x+1+\dfrac{e}{x}>2-x+1$ 推得 $(x-1)^2+\dfrac{e}{x}+x>3$. 由基本不等式可知 $x+\dfrac{e}{x}\geq2\sqrt e$，易得原不等式成立。 故 $e^x+x^2-(e+1)x+\dfrac{e}{x}>2$.

2. 指对放缩 plus

$e^x\geq x+1\to e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1$.$(x\geq0)$ $e^x\geq ex\to e^x\geq ex+\dfrac{e}{2}(x-1)^2 \geq ex+(x-1)^2$.$(x\geq0)$ $\ln x\leq x-1\to \ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}$. 上式相较于普通版本精度更高。

对以上放缩进行推导：

$e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1$.$(x\geq0)$. 构造函数 $f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}-x-1$，对函数求导 $f'(x)=e^x-x-1$. 容易发现 $f'(x)$ 单调递增，当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$；当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$. 所以 $x=0$ 时，$f(x)_{min}=0$. 故 $f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}-x-1\geq 0$，得 $e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1$.$(x\geq0)$. 证毕。

$e^x\geq ex+\dfrac{e}{2}(x-1)^2$. 将 $e^{x-1}$ 用 $e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1$ 放缩可得 $e^{x-1}\geq \dfrac{{x-1}^2}{2}+x$ 所以 $e^x\geq ex+\dfrac{e}{2}(x-1)^2$. 证毕。

$e^x \geq ex+(x-1)^2$. 由 $2$ 显然。

$\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}$. 由 $\ln \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{x}-1$ 可知 $-\ln \dfrac{1}{x} \geq 1-\dfrac{1}{x}$. 由 $-\ln x=\ln \dfrac{1}{x}$ 可知，$\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}$. 证毕。

2.1 例题 1# 证 $e^x+\dfrac{1}{x}\geq 2-\ln x+x^2+(e-2)x$.

证明：由 $e^x \geq ex+(x-1)^2$，$\ln x\leq x-1$，当 $x=1$ 时同时取等可知，$ex+(x-1)^2+\dfrac{1}{x}\geq 2-x+1+x^2+(e-2)x$. 所以 $\dfrac{1}{x}\geq-x+2$，化简得 $(x-1)^2\geq0$. 故 $e^x+\dfrac{1}{x}\geq 2-\ln x+x^2+(e-2)x$ 成立.

3. 飘带放缩#

$\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}$.$(x\in (0,1])$. $\dfrac{2(x-1)}{x+1} \leq \ln x \leq \dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x})$.$(x\in (1,+\infty])$. 对以上放缩进行证明：

$\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x$.$(x\in (0,1])$. 构造函数 $f(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2x}-\ln x$，对函数求导 $f'(x)=\dfrac{1}{2x^2}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{(x-1)^2}{2x^2}\geq 0$. 所以 $f(x)$ 单调递增，当 $x=1$ 时，$f(x)=0$. 因为 $x\leq1$，所以 $f(x)\leq 0$。故 $\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x$.$(x\in (0,1])$.

$\ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}$.$(x\in (0,1])$. 构造函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{2(x-1)}{x+1}$，对函数求导 $f'(x)=-4(x+1)^{-2}+x^{-1}=\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}\geq 0$. 所以 $f(x)$ 单调递增，当 $x=1$ 时，$f(x)=0$. 因为 $x\leq1$，所以 $f(x)\leq 0$。故 $\ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}$.$(x\in (0,1])$.

所以 $\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}$.$(x\in (0,1])$. $\dfrac{2(x-1)}{x+1} \leq \ln x \leq \dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x})$.$(x\in (1,+\infty])$. 同理可得。